Persamaan garis singgung pada \( y = 3 \sin x \) pada titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) adalah…
- \( y = \frac{2}{3} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \frac{2 \sqrt{2}}{3} \)
- \( y = \frac{2}{3} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{2 \sqrt{2}}{3} \)
- \( y = \frac{3}{2} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
- \( y = \frac{3}{2} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
- \( y = \frac{3}{2} \left( x - \frac{\pi}{3} \right) - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \)
Pembahasan:
Pertama kita cari gradient dari kurva \(y\) di titik \(x = \frac{\pi}{3}\) terlebih dahulu. Karena gradien nya sama dengan turunan pertama dari \(y\), maka diperoleh:
\begin{aligned} f(x) = y &= 3 \sin x \\[8pt] m &= y' = 3 \cos x \\[8pt] f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= 3 \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] &= 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{aligned}
Selanjutnya, untuk \( x = \frac{\pi}{3} \) maka nilai kurva \( y \) yaitu:
\begin{aligned} f(x) = y &= 3 \sin x \\[8pt] f\left( \frac{\pi}{3} \right) &= 3 \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] &= 3 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{3}{2}\sqrt{3} \end{aligned}
Dengan demikian, persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) yaitu \( \frac{\pi}{3}, \frac{3}{2}\sqrt{3} \) dan bergradien \( m = \frac{3}{2} \) adalah…
\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-\frac{3}{2}\sqrt{3} &= \frac{3}{2} \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] y &= \frac{3}{2} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)+\frac{3}{2}\sqrt{3} \end{aligned}
Jawaban D.